図の線上を点Pから点Rを通って, 点Qに至る最短経路は何通りあるか。
ア 16
イ 24
ウ 32
エ 60
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正解：エ
解説：
組み合わせの問題ですが、PからR、RからQを分けて考えてみます。まずはPからQの最短ルートが何通りあるかという問題です。
PからRに移動するには水平方向（右）に２移動します。同じように垂直方向（上）にも２移動します。合計の移動距離は２＋２＝４となります。
すると４回移動するうちに２回は垂直方向に移動すると考えることが出来ます。
$${}_2 C_4 =\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{4\times3\times2\times1}{2\times1\times2\times1}=\frac{24}{4}=6通り$$
同様にRからQに移動するには水平方向に３、垂直方向にも２移動します。合計の移動距離は３＋２＝５となります。
すると５回移動するうちに２回は垂直方向に移動すると考えることが出来ます。
$${}_2 C_5 =\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1\times3\times2\times1}=\frac{120}{12}=10通り$$
PからRが６通り、RからQが１０通りの経路が存在することが分かったので$$6\times10=60通り$$経路が存在しエが正解となります。
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